האם מותר לאכול חמץ שנמכר לגוי בשבת שלאחר החג השנה, הרי חג הפסח נגמר בערב שבת?

לא. רק במוצאי שבת בשעה 21:00.

ומה בדבר אכילת קטניות בשבת?

פשוט שמותר, כי הן אינן מוקצה, כיון שמותרות לספרדים, ויש ספרדים בכל מקום בימינו. וכן מותר לאכול בשבת שרויה שהיא חומרה ורוב האשכנזים מתירים בזה. כל זה נאמר בקטניות מוכנות שאינן זקוקות לבישול.

האם מותר לבשל קטניות ביום טוב בשביל אותה שבת על סמך עירוב תבשילין?

יש מחמירים ויש מקילים וכל אחד יעשה כעניינו.